Параллелограмм — это особый вид четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны. В данной статье мы рассмотрим особый случай параллелограмма — ромб, и научимся доказывать, что в него можно вписать окружность.
Для начала, рассмотрим основные свойства ромба. Одно из них заключается в том, что все его стороны равны между собой. Также, в ромбе углы между сторонами равны между собой. Из этих двух свойств следует, что диагонали ромба — это взаимно перпендикулярные отрезки, пересекающиеся в их серединах. Это свойство будет очень полезным при доказательстве нашего утверждения.
Вписанная окружность в параллелограмме: доказательство ромба
Предположим, что в параллелограмме вписана окружность. Обозначим ее центр как точку O. Из центра окружности проведем две радиуса, которые будут являться радиусами вписанных окружностей треугольников OAB и OBC.
Так как параллелограмм является фигурой симметричной относительно диагоналей, диагонали OA и OC пересекаются в точке, которую можно обозначить как точку M.
Поскольку M является серединой диагонали AC, то она делит ее пополам. Расстояние от центра окружности O до М равно половине диагонали AC.
Также, по свойству радиуса вписанной окружности, радиус окружности равен расстоянию от центра до стороны треугольника.
Рассмотрим треугольники OAB и OBC. В этих треугольниках радиусы окружностей являются биссектрисами углов AB и BC соответственно.
Так как треугольник OAB является прямоугольным, то угол OAB равен 90 градусов. Радиус O равен радиусу AO, который равен расстоянию от O до AB.
Аналогично, треугольник OBC также является прямоугольным, и угол OBC также равен 90 градусов. Радиус O равен радиусу BO, который равен расстоянию от O до BC.
Таким образом, получается, что радиусы равны между собой. Обозначим эту длину как r.
Также из симметрии фигуры следует, что треугольники OAM и OCM являются равносторонними, поскольку все стороны треугольника равны r.
Теперь рассмотрим треугольник OAB. Угол OAB равен 90 градусов, а угол AOB является внешним углом треугольника OAM. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов. То есть, угол AOB равен двойному углу OAM, который в свою очередь равен 60 градусов.
Аналогично, угол BOC также равен 60 градусов.
Таким образом, получается, что в параллелограмме все углы являются прямыми и равны между собой, и все его стороны равны. Поэтому параллелограмм является ромбом.
Доказательство вписанной окружности
Для доказательства вписанной окружности в параллелограмме, нам нужно показать, что середины сторон параллелограмма и точки пересечения его диагоналей лежат на одной окружности.
Рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD. Проведем его диагонали AC и BD, и обозначим точку их пересечения как точку О.
Чтобы показать, что точки M, N, P и Q — середины сторон параллелограмма лежат на одной окружности, мы будем использовать равенство углов.
Утверждение 1: Угол MAN равен углу OPN.
Доказательство: Рассмотрим треугольники AOM и DON. Они имеют общую гипотенузу AO и прилежащие к ней катеты AM и DN, которые равны между собой, так как AM = DN. Также, угол MAN равен углу DON по построению. Таким образом, треугольники AOM и DON подобны. Из этого следует, что углы OAM и DON также равны. А углы OAM и OPN являются вертикальными углами и, следовательно, равны. Таким образом, углы MAN и OPN равны. Q.E.D.
Утверждение 2: Угол NAM равен углу OMP.
Доказательство: Рассмотрим треугольники NCO и MAO. Они имеют общую гипотенузу AO и прилежащие к ней катеты CO и AO, которые равны между собой, так как CO = AO. Также, угол NCO равен углу MAO по построению. Таким образом, треугольники NCO и MAO подобны. Из этого следует, что углы NCA и MAO также равны. А углы NCA и OPQ являются вертикальными углами и, следовательно, равны. Таким образом, углы NAM и OMP равны. Q.E.D.
Утверждение 3: Угол MBA равен углу OQP.
Доказательство: Доказательство этого утверждения аналогично доказательству утверждения 2, только используются треугольники MBA и QCO. Таким образом, углы MBA и OQP равны. Q.E.D.
Из утверждений 1-3 следует, что углы MAN, NAM, MBA и OQP равны друг другу. Таким образом, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности с центром в точке O. Поскольку эти точки являются серединами сторон параллелограмма, окружность, проходящая через них, касается этих сторон в их серединах. Следовательно, в параллелограмме ABCD вписана окружность.
Доказательство параллелограмма
Предположение: В четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны.
Доказательство:
- Пусть AB и CD — противоположные стороны параллелограмма ABCD.
- Пусть M — середина стороны AB, N — середина стороны CD.
- Проведем диагонали AC и BD.
- Так как M и N — середины сторон, то M и N делят диагонали AC и BD пополам.
- Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
- Так как M является серединой стороны AB, то OM равно половине длины диагонали AC.
- Так как N является серединой стороны CD, то ON равно половине длины диагонали BD.
- Таким образом, OM = ON.
- Рассмотрим треугольники OCM и OND.
- У них OM = ON (по предыдущему шагу) и угол CMO = углу DNO (по прямому углу и тому, что MN